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「1500を素因数分解してください」
こう言われた時、できますか？
ちなみに、私はこの場合、
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√1500
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を考えます。
「困難は分割せよ」というのは数学の基本ですが、分割には
・÷（割り算）
・√（ルート）
があります。
√は2乗の逆対応操作ですが、ルートの方が数をコンパクトにできます。
1500のルートを考える時、
「10×10は100で、100×100は10000だから、その間だろう」
ということが大体わかると思います。
そして、
30×30〜40×40の間だろう、
というところぐらいまではわかるでしょう。
問題は、その先を進めていく時です。
私は、35×35を考えますが、
その際に、
（30＋５）（30+5）
に因数分解して考えます。
この場合、
・900
・25
が出てきて、さらに、
2×（30×5）
で300が出てくることがわかります。
これは、
（a+b）^2
における
2ab
の部分です。
（a+b）^2は展開すると、
a^2+2ab+b^2
なので。
・900
・25
・300
なので合計で1225だとわかります。
1500に届きませんね。
今度は、38×38を考えてみましょう。
（30＋8）（30+8）
ですから、
・900
・64
・480
であり、1444であることがわかります。
ということで、1500のルートは、
「38×38」
「39×39」
の間にあることがわかります。
1500にルートをつけると、
√1500＝38〜39
ぐらいにまでブレイクダウンできることがわかります。かなり小さくなりますね。
・38×38
・39×39
で1500が分解できる、ということは、
1500の素因数分解についても、
38・39までの数値の性質を調べれば良い、ということがわかります。
答えの候補をぐっと絞ることができました。
38は素数ではありませんよね。
2で割ったら19ですからね。割れてしまいます。
37は素数でしょうか。
これは素数です。
37は、1とそれ自身でしか割れません。
しかし、37×37では1500に届かず、かといって37×37×37も容易にオーバーしてしまうことがわかります。
36、35も素数ではありません。
34もそうです。
33も3で割れるので素数じゃない。
31は素数です。
じゃあ、31×31×31はどうでしょうか。
そもそも、30×30が900であり、これに30をかけると万の単位のオーダーにいってしまうことを考えると、そもそも論外です。考える必要すらありません。
こう考えた時点で、もう、候補は、
「30未満の数字」
というところまで調べられます。
そもそも、1500というのは明らかに偶数ですから、
まず2で割れてしまいます。
1500 ÷ 2 = 750
さらに割れます。
750 ÷ 2 = 375
375は奇数なので、これ以上2では割れません。
つまり、この時点で
1500 = 2^2 × 375
まで確定します。
375は末尾が5なので5で割れます。
375 ÷ 5 = 75
75 ÷ 5 = 15
15 ÷ 5 = 3
3は素数です。
つまり、375=5^3×3です。
つまり、
・1500 = 2^2 × 375
・375=5^3×3
です。
よって、
1500=2^2 × 5^3×3
だとわかります。
ちなみにですが、私が小学生の頃は、
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素因数分解はとにかく小さな素数からやれ
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ということを習いました。
例えば1500の場合は、
まず2で割ることからスタートするわけですね。
750
になったら、
それをさらに・・・
みたいな感じでやるのですが、
こういうやり方、
素因数分解する数字の桁が、
・15000
・1500000
・150000000
とかにでかくなると、小さな素数で割ってもまだ数字がでかい・・・みたいな感じでだるいので、
私がやったように、
「最初にさっさと√で小さくして候補を絞っておく」
みたいなのは便利なのです。
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小さな素数で話を進めるやり方は、
学校で数学を習った結果としての
「作業として数学を捉えるやり方」
ですが、
私のやり方の方が、
「候補の条件を絞る」
という”数学的思考”の真髄に近いものです。
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重要なのは、「計算ができた」ことではありません。
重要なのは、
√を使った瞬間に、
“調べる必要のある世界”が一気に狭くなった
という点です。
もし √1500 を考えずに、
3で割れるか？
5で割れるか？
7は？11は？13は？17は？19は？23は？29は？31は？37は？
とやっていたら、これはほぼ 力技 です。
数学的に美しくない。
力技は、楽しくないし、美しくない。
何より、それをやってると、数学は本当の意味でわかってない人ですから、どこかで行き詰まります。
√を使うことで何が起きたかというと、
・37以上の素数は 考える必要がない
・2乗以上は 即アウト
・「小さい素数の積」だけを見ればいい
という 探索空間の圧縮 が起きています。
これはまさに、
「困難は分割せよ」
の本質です。
しかもこの分割は、
・割り算による分割
・ルートによる スケール圧縮
という 2種類の分割 を組み合わせています。
この考え方は、
素因数分解だけの話ではありません。
・問題のスケールを見積もる
・ありえない選択肢を先に捨てる
・検討対象を有限個まで落とす
という、あらゆる知的作業に共通する態度です。
数学が「賢くなる学問」だと言われる理由は、
こういうところにあります。
答えを出す力ではなく、
考えなくていいことを切り捨てる力 を鍛えている。
それが、√1500 を最初に考える、という一手に凝縮されているのです。
さらに、応用を考えてみましょう。
1500をあえて、
「割り切れない数」
である9で割って、余りを見てみましょう。
1500 ÷ 9 = 166 余り 6
つまり、
1500 ≡ 6 (mod 9)
です。
この情報、何の役に立つのかと思うかもしれません。
しかし、ここから 逆向きの制約 がかかります。
もし 1500 が、
9（＝3^2）を因数に含んでいるなら、
1500 は 9 で割り切れるはずです。
しかし、実際には余りが 6 出ている。
つまり、
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1500 は 3 を 2回以上含んでいない
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ということが、この時点で確定します。
これ、さっきの結果と一致していますよね。
実際、
1500 = 2^2 × 3 × 5^3
であり、3 は 1回だけ 出てきます。
もう少し一般化しましょう。
ある数 N を素因数分解したいとき、
・√N で 大きさの上限 を切る
・mod k で 構造的にありえない因数 を落とす
この2つを組み合わせると、
探索空間は爆発的に小さくなります。
例えば、
・mod 2 → 偶奇
・mod 3 → 桁和
・mod 4 → 2^2の有無
・mod 8 → 2^3の有無
・mod 9 → 3^2の有無
こうした情報は、
「計算」
ではなく、
条件の切り捨て
をやっています。
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続く〜・・・・・
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説明しよう！西園寺貴文とは、常識と大衆に反逆する「社会不適合者」である！平日の昼間っからスタバでゴロゴロするかと思えば、そのまま軽いノリでソー◯をお風呂代わりに利用。挙句の果てには気分で空港に向かい、当日券でそのままどこかへ飛んでしまうという自由を履き違えたピーターパンである！「働かざること山の如し」。彼がただのニートと違う点はたった１つだけ！そう。それは「圧倒的な書く力」である。ペンは剣よりも強し。ペンを握った男の「逆転」ヒップホッパー的反逆人生。そして「ここ」は、そんな西園寺貴文の生き方を後続の者たちへと伝承する、極めてアンダーグラウンドな世界である。 U-18、厳禁。低脳、厳禁。情弱、厳禁。